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初中數學 勾股定理 北京師范大學 田開蘭 【重點難點 考點】 學習目標 1.理解勾股定理的內容,已知直角三角形的兩邊,會運用勾股定理求第三邊. 2.勾股定理的應用. 3.會運用勾股定理的逆定理,判斷直角三角形. 重點:掌握勾股定理及其逆定理. 難點:理解勾股定理及其逆定理的應用. 考點:勾股定理 勾股定理的逆定理 勾股定理的應用 【知識架構】 【考點一】勾股定理 一)勾股定理的推導 法一:面積證法: SA+SB=SC 結論:兩條直角邊上的正方形面積 之和等于 斜邊上的正方形的面積 【考點一】勾股定理 一)勾股定理的推導 法二:趙爽弦圖的證法 S大正方形=S小正方形+ 4S直角三角形 在中國古代,人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為"勾",下半部分稱為"股"。我國古代學者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”,較長的直角邊稱為“股”,斜邊稱為“弦”. 【考點一】勾股定理 一)勾股定理的推導 法三:茄菲爾德的證法 有趣的總統證法 美國第二十任總統伽菲爾德的證法在數學史上被傳為佳話 人們為了紀念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明, 就把這一證法稱為“總統”證法。 【考點一】勾股定理 二、勾股定理 一)勾股定理:如果直角三角形的兩直角邊分別為a,b,斜邊為c,那么一定有 勾股定理的另一種表述:直角三角形兩直角邊的平方和和等于斜邊的平方。 二)勾股定理的其他表示形式: ★解題技巧: 1、勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的數量關系,是解決有關線段計算問題的重要依據 2、勾股定理的探索與驗證,一般采用“構造法”.通過構造幾何圖形,并計算圖形面積得出一個等式,從而得出或驗證勾股定理 【考點一】勾股定理 例1:如圖3,分別以Rt △ABC三邊為邊向外作三個正方形,其面積分別用S1、S2、S3表示,容易得出S1、S2、S3之間有的關系式 . 【考點一】勾股定理 例2:如圖,學校有一塊長方形花鋪,有極少數人為了避開拐角走“捷徑”,在花鋪內走出了一條“路”.他們僅僅少走了 步路(假設2步為1米),卻踩傷了花草. 【考點一】勾股定理 例3:如圖2,一個3米長的梯子AB,斜著靠在豎直的墻AO上,這時AO的距離為2.5米. ①求梯子的底端B 距墻角O多少米? ②如果梯的頂端A沿墻下滑0.5米至C. 算一算,底端滑動的距離近似值(結果保留兩位小數). 【考點二】勾股定理的逆定理 一)勾股定理的逆定理(直角三角形的判定): 如果三角形的三邊長a,b,c滿足 ,那么這個三角形是直角三角形. ◆符號語言: 在△ABC中,若a2 + b2 = c2,則△ABC是直角三角形。 ★注意: 1、這一命題是勾股定理的逆定理 2、它可以幫助我們判斷三角形的形狀.為根據邊的關系解決角的有關問題提供了新的方法. 3、定理的證明采用了構造法.利用已知三角形的邊a,b,c(a2+b2=c2),先構造一個直角邊為a,b的直角三角形,由勾股定理證明第三邊為c,進而通過“SSS”證明兩個三角形全等,證明定理成立. 【考點二】勾股定理的逆定理 ★二)勾股數組: 定義:能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數,稱為勾股數組. 常見勾股數組: (1)a=3,b=4,c=_____ (2)a=9,b=____c=15 (3)a=____,b=40,c=50 (4)a=24,b=32,c=________ (5)a=5,b=_______,c=13 (6)a=_____,b=36,c=39 (7)a=25,b=60,c=________ 【考點二】勾股定理的逆定理 三)解題技巧: 在中考中,很多問題常常要證明兩條直線互相垂直,當題中給出線段的長度要證明它們互相垂直時,往往用到勾股定理的逆定理通過計算得到證明. 勾股定理的逆定理是用來判定一個三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用來證明兩直線是否垂直,勾股定理是直角三角形的性質定理,而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理,它不僅可以判定三角形是否為直角三角形,還可以判定哪一個角是直角,從而產生了證明兩直線互相垂直的新方法:利用勾股定理的逆定理,通過計算來證明,體現了數形結合的思想. 【考點二】勾股定理的逆定理 四)逆命題與互逆命題 1)互逆命題: 兩個命題中, 如果第一個命題的題設是第二個命題的結論, 而第一個命題的結論又是第二個命題的題設,那么這兩個命題叫做互逆命題. 如果把其中一個叫做原命題, 那么另一個叫做它的逆命題. 2)互逆定理: 如果一個定理的逆命題經過證明是真命題, 那么它也是一個定理, 這兩個定理叫做互逆定理, 其中一個叫做另一個的逆定理. 3)注意:任何一個命題都有 _____,但任何一個定理未必都有 __ 五)勾股定理判別三角形形狀 三角形的三邊分別為a、b、c,其中c為最大邊, 若a2 + b2=c2,則三角形是直角三角形; 若a2 + b2>c2,則三角形是銳角三角形; 若a2 + b2

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《勾股定理課件ppt幻燈片》是由用戶huangyixuan于2020-09-16上傳,屬于數學課件PPT。

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